神奇图片揭秘

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帖子  guoyulin 于 2014-03-11, 14:45


神奇图片揭秘


  朱虹在手机微信群里给出了一个供李强解闷儿的“神奇图片”链接,针对其中的一套可变换的图形出了个题目,问『为什么‘八八六十五’』,点名让我来揭秘解答。这道题像是一个魔术,挺有意思。请看下面动画演示:


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  原来一个 8×8=64 的正方形,经过切蛋糕式的重新拼接,得到了一个 5×13=65 的长方形,凭空多出了一个小方格的面积。由于玩了个“无中生有”,这道题披上了神秘色彩,增添了趣味性。

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              图1



  这多出的面积是从哪里来的呢?

  我坚信面积决不会凭空多出来,这里面一定有不被人注意的、没有被人看穿的隐情,奥妙就藏匿在这隐情之中。

  这是一道图形题,离开了图形难以表述清楚。但在手机上画图太困难了,远远不如在电脑上画图方便,这种图形题不便在手机微信里解答,所以我把它的揭秘转移到“老苯天空”网站上来解释。

  最基础的图形是下面这个图2。

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                图2


  我经过反复观察思考,终于把问题想清楚了,发现了奥秘所在。现在可以揭秘了。这个奥秘存在于图形的细微之处,必须把图形放大才能看清楚细节。但是手机屏幕太小,不方便显示大图形,这也是为什么我要把这个题目的揭秘转移到“老苯天空”网站上来解释的又一个原因。

  上面的图2用了一条横线和两条斜线把 8×8=64 的正方形划分成了甲、乙、丙、丁四个部分。“甲”用红色表示,“乙”用绿色表示,“丙”用蓝色表示,“丁”用橙色表示。“甲”和“乙”是两个形状相同,面积相同的三角形(几何上称为全等三角形)。“丙”和“丁”是两个形状相同,面积相同的四边形(全等四边形)。

  现在,我们把“丙”和“丁”这个 5×8 的区域竖过来(旋转90°),如图3。

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                 图3


  竖过来后,图3中“丙”“丁”两部分的方向正好和最终那个长方形中“丙”“丁”部分的方向相一致,同时也便于看清它们和“甲”“乙”部分的拼接关系。

  下面到了揭秘最关键的部分了。在图2中,“甲”“乙”两部分图形之间的分界线是一条斜线。在图3中,“丙”“丁”两部分图形之间的分界线也是一条斜线,这两条斜线的倾斜程度是不是一样呢?这用到了中学代数和几何教程中的“斜率”概念。先看看甲乙之间的斜线:它向右延伸8个单位的同时,向上抬高了3个单位,斜率是3:8,或者说是3/8。再看看丙丁之间的斜线:它向右延伸5个单位的同时,向上抬高了2个单位,斜率是2:5,或者说是2/5。

  显然,两条斜线的斜率是不一样的。换句话说,两条斜线的仰角并不相同,但是非常接近。根据这两个不同的斜率,我用三角函数计算了一下,甲乙斜线的仰角是20.556°,丙丁斜线的仰角是 21.801°,比甲乙斜线稍微陡一点,二者仅相差1.245°,一般人不会觉察出来。但是这个小小的角度延伸出去,就会裂开一个缝隙。

  现在我们记住一句话:“丙丁斜线比甲乙斜线要略微陡一点!

  这个不被人注意的小小的差别就是破解这道题目的关键所在。

  如果切蛋糕重新拼接成的图形是严丝合缝的,拼接后它的面积是不会多出来的。但是现在两条斜线的仰角稍有差别,拼接就不可能是严丝合缝的,必然留有缝隙。我按照严格的比例绘制了一个放大的图,可以看出最后拼出的 5×13=65 的长方形中有一个细长的缝隙,见图4。


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                       图4


  为什么会有缝隙?想想前面说过的话:“丙丁斜线比甲乙斜线要略微陡一点!”这样是不是就容易理解了?前面在图1中给出的那个 5×13=65 的长方形在此处打了个马虎眼,其实这个长方形从左下角到右上角并不是一条直线,而是两条折线(虽然折的不明显)。但图1故意把线条加粗、涂实,用很不严格的比例掩盖了两条折线之间的缝隙。所以说图1 用了障眼法,图4 才是真实的情况,图4中这个白色缝隙区域的面积,恰好就是一个小方格的面积,64变65,面积就是这么多出来的!多的就是这条缝隙。昭然若揭了吧!

  破解这道题需要用到的知识主要是初中的代数和几何,如果能多少了解一点高中三角函数的简单概念,分析起来会更加得心应手。


  朱虹和其他网友群友们,我说清楚了吗?对我这样的解释是否满意?还有什么问题吗?






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帖子  wangying 于 2014-03-16, 18:18

64=65? 很好奇。
通过郭先生的分析:观察、计算、推导等等,给出了答案。
前后两个图形:面积变大了,周长也变长了。
原来正方形的周长是32(8x4),后来的长方形周长是36(5x2+13x2)。很有趣。
这种问题很有意思,可能别的图形不行。

传说埃及金字塔内,有一组神秘的数字:
142857x1=
            x 2=285714
            x 3=428571
            x 6=857142
            x  7=999999
仔细观察就这几个数字来回排列,很神奇吧。

wangying

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