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神奇图片揭秘
guoyulin 2014-03-11, 14:45
神奇图片揭秘
朱虹在手机微信群里给出了一个供李强解闷儿的“神奇图片”链接，针对其中的一套可变换的图形出了个题目，问『为什么‘八八六十五’』，点名让我来揭秘解答。这道题像是一个魔术，挺有意思。请看下面动画演示：
原来一个 8×8＝64 的正方形，经过切蛋糕式的重新拼接，得到了一个 5×13＝65 的长方形，凭空多出了一个小方格的面积。由于玩了个“无中生有”，这道题披上了神秘色彩，增添了趣味性。
图1
这多出的面积是从哪里来的呢？
我坚信面积决不会凭空多出来，这里面一定有不被人注意的、没有被人看穿的隐情，奥妙就藏匿在这隐情之中。
这是一道图形题，离开了图形难以表述清楚。但在手机上画图太困难了，远远不如在电脑上画图方便，这种图形题不便在手机微信里解答，所以我把它的揭秘转移到“老苯天空”网站上来解释。
最基础的图形是下面这个图2。
图2
我经过反复观察思考，终于把问题想清楚了，发现了奥秘所在。现在可以揭秘了。这个奥秘存在于图形的细微之处，必须把图形放大才能看清楚细节。但是手机屏幕太小，不方便显示大图形，这也是为什么我要把这个题目的揭秘转移到“老苯天空”网站上来解释的又一个原因。
上面的图2用了一条横线和两条斜线把 8×8＝64 的正方形划分成了甲、乙、丙、丁四个部分。“甲”用红色表示，“乙”用绿色表示，“丙”用蓝色表示，“丁”用橙色表示。“甲”和“乙”是两个形状相同，面积相同的三角形（几何上称为全等三角形）。“丙”和“丁”是两个形状相同，面积相同的四边形（全等四边形）。
现在，我们把“丙”和“丁”这个 5×8 的区域竖过来（旋转90°），如图3。
图3
竖过来后，图3中“丙”“丁”两部分的方向正好和最终那个长方形中“丙”“丁”部分的方向相一致，同时也便于看清它们和“甲”“乙”部分的拼接关系。
下面到了揭秘最关键的部分了。在图2中，“甲”“乙”两部分图形之间的分界线是一条斜线。在图3中，“丙”“丁”两部分图形之间的分界线也是一条斜线，这两条斜线的倾斜程度是不是一样呢？这用到了中学代数和几何教程中的“斜率”概念。先看看甲乙之间的斜线：它向右延伸8个单位的同时，向上抬高了3个单位，斜率是3:8，或者说是3/8。再看看丙丁之间的斜线：它向右延伸5个单位的同时，向上抬高了2个单位，斜率是2:5，或者说是2/5。
显然，两条斜线的斜率是不一样的。换句话说，两条斜线的仰角并不相同，但是非常接近。根据这两个不同的斜率，我用三角函数计算了一下，甲乙斜线的仰角是20.556°，丙丁斜线的仰角是 21.801°，比甲乙斜线稍微陡一点，二者仅相差1.245°，一般人不会觉察出来。但是这个小小的角度延伸出去，就会裂开一个缝隙。
现在我们记住一句话：“丙丁斜线比甲乙斜线要略微陡一点！”
这个不被人注意的小小的差别就是破解这道题目的关键所在。
如果切蛋糕重新拼接成的图形是严丝合缝的，拼接后它的面积是不会多出来的。但是现在两条斜线的仰角稍有差别，拼接就不可能是严丝合缝的，必然留有缝隙。我按照严格的比例绘制了一个放大的图，可以看出最后拼出的 5×13＝65 的长方形中有一个细长的缝隙，见图4。
图4
为什么会有缝隙？想想前面说过的话：“丙丁斜线比甲乙斜线要略微陡一点！”这样是不是就容易理解了？前面在图1中给出的那个 5×13＝65 的长方形在此处打了个马虎眼，其实这个长方形从左下角到右上角并不是一条直线，而是两条折线（虽然折的不明显）。但图1故意把线条加粗、涂实，用很不严格的比例掩盖了两条折线之间的缝隙。所以说图1 用了障眼法，图4 才是真实的情况，图4中这个白色缝隙区域的面积，恰好就是一个小方格的面积，64变65，面积就是这么多出来的！多的就是这条缝隙。昭然若揭了吧！
破解这道题需要用到的知识主要是初中的代数和几何，如果能多少了解一点高中三角函数的简单概念，分析起来会更加得心应手。
朱虹和其他网友群友们，我说清楚了吗？对我这样的解释是否满意？还有什么问题吗？
guoyulin- 帖子数 : 385
注册日期 : 12-12-04
回复： 神奇图片揭秘
wangying 2014-03-16, 18:18
64=65? 很好奇。
通过郭先生的分析：观察、计算、推导等等，给出了答案。
前后两个图形：面积变大了，周长也变长了。
原来正方形的周长是32（8x4），后来的长方形周长是36（5x2+13x2）。很有趣。
这种问题很有意思，可能别的图形不行。
传说埃及金字塔内，有一组神秘的数字：
142857x1=
x 2=285714
x 3=428571
x 6=857142
x 7=999999
仔细观察就这几个数字来回排列，很神奇吧。
通过郭先生的分析：观察、计算、推导等等，给出了答案。
前后两个图形：面积变大了，周长也变长了。
原来正方形的周长是32（8x4），后来的长方形周长是36（5x2+13x2）。很有趣。
这种问题很有意思，可能别的图形不行。
传说埃及金字塔内，有一组神秘的数字：
142857x1=
x 2=285714
x 3=428571
x 6=857142
x 7=999999
仔细观察就这几个数字来回排列，很神奇吧。
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